Rätsel

[Poliven]

ich hab mal ein tolles Rätsel für euch .

 

 

Was ist das . Wenn ich es brauche werfe ich es weg . Wenn ich es nicht mehr brauche hol ichs mir zurück

 

Na ???

bearbeitet 19. Dezember 2004 von Poliven

[Stefan]

Anker.

[Ute]

Angelhaken.

 

Boomerang.

 

Speer.

 

Pfeil.

bearbeitet 19. Dezember 2004 von Ute

[Poliven]

Stefan hat recht ...

[Wally]

Hallo Stefan,

Der Teufel gewinnt in 2 von 3 Spielen.

Stimmt,

genial!

Habe Deine Erklärung zwar nicht verstanden,

aber wenn man die 8 Kombinationen durchspielt für die 3 Kugeln:

1.] vor dem Teufel

2.] 1. Kugel des Teufels

3.] 2. Kugel des Teufels = 1. Kugel des Menschen,

dann gewinnt Teufel 2 mal und Mensch 1 mal.

[Ute]

Stefan hat recht ...

und wieso ich nicht?

[maxinquaye]

Wo?

 

---

 

Ist der Frosch im heutigen Adventskalender-Fenster am häufigsten auf dem mittleren Feld 7 ?

 

---

 

In der Hutaufgabe vom -> 16.12. stellt sich doch kein "konstantes Kundenverhältnis" ein,

vielmehr osziliert das K / P - Verhältnis zwischen 2 : 1 und 5 : 1.

o.k.?

Ich finde die Rätsel sehr interessant. Wally Du musst mal Begründungen angeben !

 

Ich hätte ein paar Ideen zum Froschrätsel, denen ich aus Zeitmangel nicht nachgehen kann (wenn ich mich aml festgebissen habe komm ich nicht mehr dran vorbei) :

 

- Versuche Regeln zu finden, p1+p2+..+pn=1

-Wie verhalten sich einfache Systeme mit ein, zwei Knoten ?

[Sokrates]

Zum Froschrätsel:

 

Das Ganze führt auf 15 Gleichungen mit 14 Unbekannten. Ich suche noch nach einem theoretischen Grund, warum dieses Gleichungssystem höchstens eine Lösung haben kann, bzw. unter welchen Bedingungen das System mehrere Lösungen haben könnte.

 

(1) P(1) = 1/3 * P(3)

(2) P(2) = 1/3 * P(3)

(3) P(3) = P(1) + P(2) + 1/3 * P(4)

...

(9) P(9) = 1/3 * P(8) + 1/4 * P(10) + 1/3 * P(11)

(10) P(10) = 1/3 * P(7) + 1/3 * P(8) + 1/3 * P(9) + 1/3 * P(12)

...

(14) P(14) = 1/3 * P(12) + 1/2 * P(13)

 

 

(15) P(1) + P(2) + ... + P(14) = 1

[maxinquaye]

ich glaube dass nur 14 Gleichungen wirklich abhängig vineinander sind. Als Grund kann ich hier nur das Beispiel dreier Blätter angeben.

 

Ich denke dass es noch eine einfachere Lösung geben muss (die einzelnen Werte für p sind nicht gefragt).

bearbeitet 20. Dezember 2004 von maxinquaye

[Rinf]

ich glaube dass nur 14 Gleichungen wirklich abhängig vineinander sind. Als Grund kann ich hier nur das Beispiel dreier Blätter angeben.

Du meinst unabhängig, gelle?

Ich denke dass es noch eine einfachere Lösung geben muss (die einzelnen Werte für p  sind nicht gefragt).

Irgendwie sieht das ganze ein bischen so aus, als könnte man eine lineare Optimierung (Simplex-Verfahren) drauf loslassen. Aber mir will es nicht so recht gelingen, die Zielfunktion zu formulieren.

 

Ich habe mal (unfairerweise, ich weiß) ein bischen nach "Random Walk Graphen" gegoogelt. Aber in Wahrscheinlichkeitsrechnung bin ich ziemlich "pisa".

Und sowas mit Erwartungswerten und so kommt da zu Hauf vor.

Vielleicht so als Tip...

[Sokrates]

Sorry, ich war aus Zeitmangel zu kurz.

 

Die Lösung habe ich, ich habe bloss keinen eleganten Beweis, dass es die einzige Lösung ist (Und die Matrix auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen, habe ich echt keinen Bock).

 

Also: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Frosch auf einem Blatt befindet, ist proportional zur Anzahl der Pfade, die zu diesem Blatt führen.

 

Also:

 

1/36 für die Blätter 1 und 2

1/18 für die Blätter 5, 13 und 14

1/12 für die Blätter 3,4,6,7,8,9,11,12

und

1/9 für Blatt 10.

 

Kann man leicht durch Einsetzen in die obigen Gleichungen nachrechnen.

 

Heuristische Begründung für die Herleitung:

 

Alle 18 Wege und damit 36 Sprungmöglichkeiten (hin bzw. zurück) sind gleichberechtigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass er einen bestimmten Weg in eine bestimmte Richtung spriingt, ist also 1/36. Zähle die Wege zusammen. Fertig. Das ist natürlich kein Beweis, sondern eine Heuristik. Der Beweis erfolgt dann durch Nachrechnen.

bearbeitet 20. Dezember 2004 von Sokrates

[Rinf]

Also: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Frosch auf einem Blatt befindet, ist proportional zur Anzahl der Pfade, die zu diesem Blatt führen.

Nicht ganz, sie ist proportional des Summe der Wahrscheinlichkeiten der direkten Nachbarn. Weiter entfernte Nachbarn muß man nicht berücksichtigen, denn die sind bereits in der Wahrscheinlichkeitsberechnung für die direkten Nachbarknoten enthalten (wie bei Dijkstra).

 

Also ein Knoten mit 4 Nachbaren, die aber jeder für sich keine weiteren Nachbarn haben, wird weniger oft besucht werden, als ein gleichgradiger Knoten, bei dem die Nachbarknoten einen Knotengrad >1 aufweisen.

 

Wenn man sich jetzt noch überlegt, daß die Grad-Folge der über n Kanten von Knoten 10 erreichbaren Knoten monoton fällt, dann läßt sich Lösung "10" darüber eventuell induktiv beweisen. (einzige blöde Ausnahme: 3,4,5).

 

Edit: Nee - is' ja Quatsch - ist nicht monoton fallend - bitte ignorieren....

 

Nochmal Edit:

Natürlich nicht Produkt sondern Summe... grrr

bearbeitet 20. Dezember 2004 von Rinf

[Wally]

Hi maxinquaye,

Wally Du musst mal Begründungen angeben !

Ach ja...

Also, in den Frosch habe ich mich einfach hineinversetzt, bin eine Weile lang herumgehüpft, und habe beobachtet, was um mich herum passiert.

In den nächsten Tage werde ich mal ein Programm schreiben, das den Frosch ca. 1 Mio mal hüpfen läßt und dabei die Blätter mitzählt ...

 

Und die Hüteaufgabe habe ich mit Excel iterativ wie ich hoffe gelöst --- kann ich jemandem die ExcelDatei mailen?

 

tschüss

Wally

[Wally]

Bei der ->gestrigen Würfelaufgabe ist auch für mich als math. Laien klar, dass die Frage, soll ich weiterwürfeln?, nur von der Anzahl n der bisher erwürfelten Augen abhängt,

denn mit jedem Wurf ist die, Gefahr, meine erwürfelten Augen zu verlieren, 1:6,

egal, ob's der 2. oder der 100-ste Wurf ist.

 

Also eine simple Optimierungsaufgabe.

 

Einfach jeweils ca. 1000 mal würfeln mit n:=4 ... 30

[Sokrates]

Also: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Frosch auf einem Blatt befindet, ist proportional zur Anzahl der Pfade, die zu diesem Blatt führen.

Nicht ganz, sie ist proportional des Summe der Wahrscheinlichkeiten der direkten Nachbarn. Weiter entfernte Nachbarn muß man nicht berücksichtigen, denn die sind bereits in der Wahrscheinlichkeitsberechnung für die direkten Nachbarknoten enthalten (wie bei Dijkstra).

Sorry, es macht keinen Sinn, hier rumzurechten. Meine Heuristik ist richtig, nicht weil sie besonders schlau ist, sondern weil sie nachrechenbar richtig ist.

 

In der Tat, man sollte annehmen, dass es auch darauf ankommt, wie abgelegen etwas ist - aber tut es offenbar nicht, weil mein Ergebnis nachrechenbar stimmt. (nun, ja, offenbar kommt man vn Punkten, die man nur schwer erreicht, auch nur schwer wieder weg, offenbar (nachrechenbar) gleicht es sich also auf lange Sicht aus).

[Sokrates]

Also, in den Frosch habe ich mich einfach hineinversetzt, bin eine Weile lang herumgehüpft, und habe beobachtet, was um mich herum passiert.

In den nächsten Tage werde ich mal ein Programm schreiben, das den Frosch ca. 1 Mio mal hüpfen läßt und dabei die Blätter mitzählt ...

Wenn Du mir eine Voraussage gestattest: Auf Blatt 10 wird der Frosch nach einer Million Versuchen etwa 111 000 mal gelandet sein. Auf Blatt 1 etwa 2 800 mal). Wenn nicht, hast Du einen Programmierfehler

 

(Frage: Hast Du meine Lösung nicht gesehen, oder war sie so unverständlich?)

[Rinf]

Sorry, es macht keinen Sinn, hier rumzurechten. Meine Heuristik ist richtig, nicht weil sie besonders schlau ist, sondern weil sie nachrechenbar richtig ist.

War auch nicht meine Absicht, Recht zu haben. Ich dachte, ich hätte 'ne Idee, die Richtigkeit Deiner Lösung kürzer zu zeigen. War nix, habe ich aber zu spät gemerkt, sonst hätte ich's wieder gelöscht, so nur meine Aufforderung zum Ignorieren.

 

Gruß Ralf

[Sokrates]

War auch nicht meine Absicht, Recht zu haben. Ich dachte, ich hätte 'ne Idee, die Richtigkeit Deiner Lösung kürzer zu zeigen.

Kürzer als Nachrechnen geht nicht

 

Aber im Ernst: wonach ich immer noch suche, ist eine einfache Heuristik, warum das die einzige Lösung ist. Intuitiv leuchtet es ein, aber irgendwie müsste man das doch auch ernsthaft zu fassen kriegen.

 

Deine Alternativheuristik war übrigens mein erster Ansatz (als ich bios 7 rechnete, was einfach geht). Dann habe ich der Saxche nicht getraut und die Vermutung erst überprüft, als mir das NAchrechnen zu lästig wurde. Wie man sieht: Faulheit hilft.

[Sokrates]

Falls noch jemand Lust auf Mathe hat, formal kann man die Froschaufgabe auf folgendes lineares Gleichungssysem umformen:

 

aus

P(1) = 1/3 * P(3)

macht man

0 = -1 * P(1) + 0 * P(2) + 1/3 * P(3) + 0 * P(4) + 0 * P(5) ....

und für die anderen Gleichungen analog.

 

Dann ergibt sich das Lineare Gleichungssystem in Matrixdarstellung:

 

 

( -1   0   1/3   0    0    0    0    0     0     0    0    0    0    0   )
(  0  -1   1/3   0    0    0    0    0     0     0    0    0    0    0   )
(  1   1   -1   1/3   0    0    0    0     0     0    0    0    0    0   )
(  0   0   1/3  -1   1/2  1/3   0    0     0     0    0    0    0    0   )
(  0   0    0   1/3  -1   1/3   0    0     0     0    0    0    0    0   )
(  0   0    0   1/3  1/2  -1   1/3   0     0     0    0    0    0    0   )
(  0   0    0    0    0   1/3  -1   1/3    0    1/4   0    0    0    0   )
(  0   0    0    0    0    0   1/3  -1    1/3   1/4   0    0    0    0   )
(  0   0    0    0    0    0    0   1/3   -1    1/4  1/3   0    0    0   )
(  0   0    0    0    0    0   1/3  1/3   1/3   -1    0   1/3   0    0   )
(  0   0    0    0    0    0    0    0    1/3    0   -1   1/3  1/2   0   )
(  0   0    0    0    0    0    0    0     0    1/4  1/3  -1    0   1/2  )
(  0   0    0    0    0    0    0    0     0     0   1/3   0   -1   1/2  )
(  0   0    0    0    0    0    0    0     0     0    0   1/3  1/2  -1   )
(  1   1    1    1    1    1    1    1     1     1    1    1    1    1   )

Von den 15 Zeilen müssen 14 linear unabhängig sein. (Trivialerweise sind die ersten 14 linear abhängig: Ihr Summe Ergibt den Nullvektor, wie man sieht. Man kann also ein beliebige der ersten 14 Zeilen streichen.

 

Nachrechnen möchte ich die lineare Unabhängigkeit nicht, das Eintippen war mühsam genug. Wer Lust hat: Stichwort "Diagonalisieren"

bearbeitet 21. Dezember 2004 von Sokrates

[Wally]

Hallo Sokrates, Du Hellseher:

Wenn Du mir eine Voraussage gestattest: Auf Blatt 10 wird der Frosch nach einer Million Versuchen etwa 111 000 mal gelandet sein. Auf Blatt 1 etwa 2 800 mal).

Hier hast'e eine Null unterschlagen: 111.000 / 4 = 27.750

 

Mein Frosch hüpfte:

auf Blatt 10: 109.308 mal (dann: 111.721)

auf Blatt 1: 27.338 mal (dann: 27.524)

auf Blatt 2: 27.256 mal (dann: 27.479)

 

Hast Du meine Lösung nicht gesehen, oder war sie so unverständlich?

Die gestrige ->von 14:17 verstand ich, danke.

 

Bei der von 18:10, was heisst da die "Anzahl der Pfade, die zu diesem Blatt führen" ?

bearbeitet 21. Dezember 2004 von Wally

[maxinquaye]

Sorry, es macht keinen Sinn, hier rumzurechten. Meine Heuristik ist richtig, nicht weil sie besonders schlau ist, sondern weil sie nachrechenbar richtig ist.

War auch nicht meine Absicht, Recht zu haben. Ich dachte, ich hätte 'ne Idee, die Richtigkeit Deiner Lösung kürzer zu zeigen. War nix, habe ich aber zu spät gemerkt, sonst hätte ich's wieder gelöscht, so nur meine Aufforderung zum Ignorieren.

 

Gruß Ralf

"Unabhängig" ..ja, klar.

 

Ja, ich glaube ich habe Dich verstanden (oder Du mich vorher).

An so etwas habe ich auch gedacht :

 

Kann man das nicht so lösen ? Spontane Idee : Man zählt alle Kanten ab (k-viele). Dann hat man 2k-viele Verbindungen (?), Verbindungen sind Kanten die von jedem Punkt aus gezählt werden. Dann setzt man die Verbindungszahl eines Punktes zu 2k ins Verhältnis. Das ist dann (?) die Wahrscheinlichkeit.

[Sokrates]

Hier hast'e eine Null unterschlagen: 111.000 / 4 = 27.750

Aua

 

Bei der von 18:10, was heisst da die "Anzahl der Pfade, die zu diesem Blatt führen" ?

4 bei der 10, einer bei der eins, 3 bei der 3. Das war gemeint.

[Wally]

Folgendes scheint mir des Pudels Kern der Froschaufgebe:

In der Tat, man sollte annehmen, dass es auch darauf ankommt, wie abgelegen etwas ist - aber tut es offenbar nicht, weil mein Ergebnis nachrechenbar stimmt. (nun, ja, offenbar kommt man vn Punkten, die man nur schwer erreicht, auch nur schwer wieder weg, offenbar (nachrechenbar) gleicht es sich also auf lange Sicht aus).

[Sokrates]

Mich würde trotzdem interessieren, warum der Lösungsraum immer auf 14 linear unabhängige Gleichungen führt. Es muss da einen allgemeinen Grund geben, weil intuitiv klar ist, dass es nur eine Lösung geben kann.

[Wally]

Ich habe gerade für die ->vorgestrige Würfelaufgabe 10.000.000 Mal den Würfel für alle Abbruchkriterien geworfen und herausgefunden, dass man beim Abbruchkriterien 19 Augen die höchsten Zahlen würfelt mit durchschnittlich 7,4153910 Augen;

dicht gefolgt von der 18 mit 7,4113347.

Als Lösungsmöglichkeit wird aber nur n = 18 angeboten

und nicht das bessere n=19

 

(Wenn statt mit der 3 mit der 2 die gewürfelte Zahl verfällt, sind 20 Augen das optimale Abbruchkriterien mit durchschnittlich 7,801130 Augen.)

bearbeitet 21. Dezember 2004 von Wally