Rätsel

[Sokrates]

Ich habe gerade für die ->vorgestrige Würfelaufgabe 10.000.000 Mal den Würfel für alle Abbruchkriterien geworfen und herausgefunden, dass man beim Abbruchkriterien 19 Augen die höchsten Zahlen würfelt mit durchschnittlich 7,4153910 Augen;

dicht gefolgt von der 18 mit 7,4113347.

Als Lösungsmöglichkeit wird aber nur n = 18 angeboten

und nicht das bessere n=19 

 

(Wenn statt mit der 3 mit der 2 die gewürfelte Zahl verfällt, sind 20 Augen das optimale Abbruchkriterien mit durchschnittlich 7,801130 Augen.)

Aus theoretischen Gründen müsste 18 herauskommen:

 

Allgemein gilt:

 

Wenn man bereits die Zahl N gewürfelt hat, dann kann man entweder noch 1, 2, 4, 5 oder 6 hinzugewinnen oder alles verlieren.

 

Der Erwartungswert für den Gewinn beim nächsten Wurf ist:

 

E = 1/6 * 0 + 1/6 *(N+1) + 1/6 * (N+2) + 1/6 * (N+4) + 1/6*(N+5) + 1/6 * (N+6)

E = 5/6 * N + 1/6 * (1+2+4+5+6) = 5/6 * N + 3

 

Es ist vorteilhaft, noch einmal zu würfeln, wenn der Erwartungswert nach dem nächsten Wurf größer ist als die gegenwärtige Punktzahl. Wenn also

5/6 * N +3 > N

gilt. Das ist der Fall, wenn

1/6 * N < 3 oder N<18 gilt.

 

Das Ergebnis wenn 2 statt 3 der "Losermove" ist, kann auch theoretisch bestätigt werden:

 

Der Erwartungswert wäre dann:

E = 5/6 * N + 1/6 * (1+3+4+5+6)

= 5/6 * N + 19/6

 

Und die Aufhör-Bedingung wäre

5/6 * N +19/6 > N

oder N < 19.

 

Dass bei Dir jeweils eine Zahl höher rauskommt, ist entweder eine Ungenauigkeit bei der Simulation, oder aber es liegt an Deinem Programm, und Du prüfst irgendwo "<=" wo Du "<" prüfen müsstest oder so. (Oder, Du zählst in der Schleife erst 1 dazu und druckst das Ergebnis dann, statt umgekehrt. Das passiert mir öfter)

bearbeitet 22. Dezember 2004 von Sokrates

[Wally]

Hallo Sokrates,

kann keinen Programmfehler finden:

Program wuerfeln; {für TurboPascal unter DOS}

uses crt;

const max=10000000;

abbruch=3; {=2 --> abbruchPunktzahl=20 optimal: 7,801130 }

von=18; bis=19;

var abbruchPunktzahl,wurf:byte;

i, wuerfe:longint;

testArr : array[von..bis] of longint;

 

begin

clrScr;

randomize;

for i:=von to bis do

testArr := 0;

for abbruchPunktzahl := von to bis do

begin

gotoxy(1,1); write(abbruchPunktzahl);

for i:=1 to max do

begin

gotoxy(5,1); write(i);

wuerfe:=0;

repeat

wurf:=random(6)+1; {--> Zufallszahlen 1..6 }

if wurf <> abbruch then

inc(wuerfe, wurf)

until (wurf=abbruch) or (wuerfe>=abbruchPunktzahl);

if wurf <> abbruch then

testArr[abbruchPunktzahl] := testArr[abbruchPunktzahl] + wuerfe;

end;

gotoxy((abbruchPunktzahl mod 5)*15+1,

abbruchPunktzahl div 5 +3);

write(abbruchPunktzahl:2,':', testArr[abbruchPunktzahl]:6)

end;

end.

bearbeitet 22. Dezember 2004 von Wally

[Sokrates]

Hallo Wally,

 

Du hast recht. Ich habe gerade den exakten Wert ausgerechnet. (Frag nicht wie, ich habe seitenweise in Excel gemurkst).

 

Er ist 7,410622296. Dieser Wert gilt sowohl bei Stop bei <18 als auch bei <19. (Weil es, wenn Du bei 18 stehst, egal ist, ob Du noch einmal würfelst oder nicht, der Erwartungswert bleibt derselbe, nämlich 18).

 

Die leicht unterschiedlichen Werte bei Deiner Monte-Carlo Simulation kommen offenbar von kleinen Schwankungen bei der Simulation. Es ist ohnehin erstaunlich, dass es so genau herauskommt.

 

Der Wert, wenn man bei 20 abbricht (also bei 19 nochmal würfelt) ist 7,3937937

 

Der Wert wenn man bei 17 nicht mehr würfelt, ist 7,391008356.

bearbeitet 22. Dezember 2004 von Sokrates

[Wally]

Hallo Sokrates,

Frag nicht wie, ich habe seitenweise in Excel gemurkst

Ohhhhh, schade, das wüßte ich zu gerne.

 

Er ist 7,410622296.

Mit 10^8 Würfen erhielt ich gerade

7,41076053 (und dann: 7,40965730) für Stop bei <=19 und

7,41145767 (und dann: 7,41136776) für Stop bei <=18.

 

Dieser Wert gilt sowohl bei Stop bei <18 als auch bei <19

Das sollte mich wundern ...

 

 

PS (Do, 10:40): Obwohl ich mich wundere, scheinst Du recht zu haben.

Die Abweichungen meiner beiden <=19-Stop-Werte voneinander ist mit 0,001 = 0,015% ca. genauso groß wie die 19er von den 18er-Werten (0,012%).

bearbeitet 23. Dezember 2004 von Wally

[Sokrates]

PS (Do, 10:40): Obwohl ich mich wundere, scheinst Du recht zu haben.

Der theoretische Grund:

 

Wenn Du bei 18 stehst, kannst Du aufhören. Dann hast Du 18. Wenn Du noch einmal würfelst, erhältst Du 19, 20, 22, 23 oder 24, oder aber 0, wenn 3 kommt. Der Erwartungswert des Ergebnisses ist jedenfalls wieder 18. Also ist es wurst, ob Du aufhörst oder nicht.

 

Hier übrigens die Kopie der ersten Spalten aus meinem Excel:

 

Anzahl der verschiedenen Würfelkombinationen, um im n-ten Zug zu einem 
bestimmten Ergebnis zu kommen:

Ergebnis	Zug1   Zug2   Zug3   Zug4   Zug5   Zug6   Zug7   Zug8   Zug9  Zug10
    1      1      0      0      0      0      0      0      0      0      0
    2      1      1      0      0      0      0      0      0      0      0
    3      0      2      1      0      0      0      0      0      0      0
    4      1      1      3      1      0      0      0      0      0      0
    5      1      2      3      4      1      0      0      0      0      0
    6      1      4      4      6      5      1      0      0      0      0
    7      0      4      9      8     10      6      1      0      0      0
    8      0      3     12     17     15     15      7      1      0      0
    9      0      2     12     28     30     26     21      8      1      0
   10      0      3     12     34     56     51     42     28      9      1
   11      0      2     15     40     80    102     84     64     36     10
   12      0      1     16     52    105    166    175    134     93     45
   13      0      0     12     64    145    240    315    288    207    130
   14      0      0      9     64    195    351    498    560    459    310
   15      0      0      7     60    230    506    770    960    948    712
   16      0      0      6     59    250    666   1176   1569   1746   1545
   17      0      0      3     56    275    810   1680   2520   3015   3030
   18      0      0      1     46    295    970   2233   3844   5071   5520
   19      0      0      0     31    244    845   1907   3263   4328   4629
   20      0      0      0     22    183    675   1523   2444   3089   3153
   21      0      0      0     16    175    755   1982   3626   5049   5709
   22      0      0      0      9    115    525   1476   2856   4089   4761
   23      0      0      0      3     56    275    810   1680   2520   3015

Ich hoffe, es wird klar was ich gemacht habe. Beispiel:

 

17 im 5 ten Zug (Spalte Zug5, Zeile "17") kann man erreichen, wenn man im 4ten Zug 16 hatte und 1 würfelt, oder 15 und 2, (14 und 3 geht nicht, weil 3 verliert), 13 und 4, 12 und 5 oder 11 und 6.

Also kommt man auf die Zahl 275 in Spalte 5, Zeile 17 durch die Summe der entsprechenden Zahlen aus Spalte 4:

275 = 40 +52 +0+ 64+60+59 (die Null wegen der 3). In den unteren Zeilen muss man aufpassen, weil bei 18 gestoppt wird. Die entsprechenden Formeln kann man in Excel eingaben und kriegt die Zahle ganz schnell.

 

Jetzt muss man nur noch die Wahrscheinlichkeiten pro Spalte bestimmen: 1/6 hoch Spaltenzahl.

Dann kann man die Wahrscheinlichkeit für jedes Feld ausrechnen. Und dann kann man durch Bilden der Zeilensummen die Wahrscheinlichkeiten für das Erreichen der Zahlen 18, 19, ... ausrechnen. Das Ergebnis kriegt man durch Ermitteln des Erwartungswertes: p(18)*18 + p(19)*19+...

 

Klingt kompliziert. ist aber reines Rechnen, das mit Excel einigermassen schnell geht.

bearbeitet 23. Dezember 2004 von Sokrates

[Sokrates]

Falls die restlichen Spalten auch noch interessieren:

 

Ergebn  Zug10  Zug11  Zug12  Zug13  Zug14  Zug15  Zug16  Zug17  Zug18
    1      0      0      0      0      0      0      0      0      0
    2      0      0      0      0      0      0      0      0      0
    3      0      0      0      0      0      0      0      0      0
    4      0      0      0      0      0      0      0      0      0
    5      0      0      0      0      0      0      0      0      0
    6      0      0      0      0      0      0      0      0      0
    7      0      0      0      0      0      0      0      0      0
    8      0      0      0      0      0      0      0      0      0
    9      0      0      0      0      0      0      0      0      0
   10      1      0      0      0      0      0      0      0      0
   11     10      1      0      0      0      0      0      0      0
   12     45     11      1      0      0      0      0      0      0
   13    130     55     12      1      0      0      0      0      0
   14    310    176     66     13      1      0      0      0      0
   15    712    451    232     78     14      1      0      0      0
   16   1545   1078    639    299     91     15      1      0      0
   17   3030   2442   1596    884    378    105     16      1      0
   18   5520   5060   3762   2314   1197    470    120     17      1
   19   4629   4182   3124   1906    976    393    106     16      1
   20   3153   2567   1705    937    390    106     16      1      0
   21   5709   5287   3971   2467   1261    483    121     17      1
   22   4761   4575   3520   2235   1183    469    120     17      1
   23   3015   3030   2442   1596    884    378    105     16      1

[maxinquaye]

Dank Deiner Hilfe ist Wally dem Hauptpreis schon beträchtlich näher gekommen.

[Rinf]

kann keinen Programmfehler finden:

[...]

wurf:=random(6)+1;  {--> Zufallszahlen 1..6 }

Hi Wally,

 

ich habe mal vor Jahren in Quickbasic so etwas sie "Paintbrush" geschrieben (aber nur ganz minimal). Also auf Maus klicken und solange man klickt, werden Punkte mit zufälligem Abstand vom Mauszeiger ausgegeben. Sah auch ganz gut aus uns dann habe ich mir gedacht, als ich Pascal lernte, das gleiche könne man ja nun auch mal in einer richtigen Programmiersprache schreiben und das war Turbopascal irgendwas zwischen 5 und 6, weissnichmehr.

Funktionierte formal auch, allerdings sah man deutliche Häufungen an den Waage-und Senkrechten - sprich: Der Zufallszahlengenerator von TP scheint keine allzu gute Gleichverteilung zu haben.

 

Ich würde mein altes TP nur unter Mühen wiederfinden - versuche doch mal:

 

zaehl: array[0..5] of longint;

 

for i := 1 to 1000000000 do begin

inc(zaehl[random(6)],1)

end;

 

 

Und dann guck mal, wie dicht die 6 Werte beianderliegen und sach' Bescheid.

 

 

Edit:

Habe das gerade mal mit Delphi (6) gemacht (und dabei festgestellt, daß Pascal ja nur Integer als Schleifenvariablen zuläßt, also FOR durch LOOP-Schleife ersetzen) - hier meine Werte bei 1 000 000 000 Durchläufen:

1 - 166674964

2 - 166651049

3 - 166685959

4 - 166666551

5 - 166660468

6 - 166661010

 

Leider muß ich gleich weg, aber das werde ich nochmal in Basic und Java gegentesten - bis denne...

 

 

 

Gruß Ralf

bearbeitet 23. Dezember 2004 von Rinf

[Sokrates]

Dank Deiner Hilfe ist Wally dem Hauptpreis schon beträchtlich näher gekommen.

Gibt es da einen Preis? Das wusste ich nicht.

[Sokrates]

Vom Endergebnis her würde ich tippen, dass Wallys Zufallsgenerator ziemlich gut ist. Ich hatte eine Monte-Carlo Simulation in Excel, da kam 8,2 statt der korrekten 7,41 heraus.

 

(Ich verwende die Funktion Ganzzahl(6*Zufallszahl())+1).

Das Ergebnis ist erschütternd: Zwischenstand nach 25000 Versuchen: zwischen 4000 und 3800. pfffft.) Das Ganze ist ziemlich langsam, da Ecxcel für solche Versuche nicht gedacht ist.

 

zwischen 12700 und 13000 nach 75000 Versuchen. Etwas besser, aber immer noch katastrophal.

bearbeitet 23. Dezember 2004 von Sokrates

[Wally]

Ja, Sokrates, Preise gibts,

aber nur für "Schüler",

die die Aufgaben bis 20:00 gelöst haben.

Danke für die aisführliche Excel-Erklärung,

ich brüte nachher nochmal ausgienig darüber...

 

1 - 166674964

2 - 166651049

3 - 166685959

4 - 166666551

5 - 166660468

6 - 166661010

Ist das denn schon echter Zufall?

 

Ich berechne gerade 10^8 Zufallszahlen,

doch mein 350 MHz-Rechner braucht dafür wohl 45 min ;-((

 

PS: ... und errechnete:

16666362

16665710

16664257

16668834

16672477

16662360

bearbeitet 23. Dezember 2004 von Wally

[Rinf]

1 - 166674964

2 - 166651049

3 - 166685959

4 - 166666551

5 - 166660468

6 - 166661010

Ist das denn schon echter Zufall?

 

Ich berechne gerade 10^8 Zufallszahlen,

doch mein 350 MHz-Rechner braucht dafür wohl 45 min ;-((

Ich war selber erstaunt - ich habe 'nen 900-er Athlon und Delphi hat da nicht mal 'ne Minute für gebraucht.

Bei QBX-Basic (kompiliert) habe ich nach 20 Minuten aufgehört zu warten, bzw. dann mußte ich weg, aber die Zahlen liegen dichter beieinander.

Hier das Basis-Ergebnis:

 

166665650

166666094

166666890

166667194

166667122

166667051

[Sokrates]

Wenn jemand das Excel File will: PM mit E-Mail Adresse an mich.

[maxinquaye]

Ein Grund diesen Thread zu eröffnen war es, ein wenig Werbung für Mathematik, Physik & Rätsel zu machen. Rätsel machen Spaß, eröffnen neue Horizonte und lassen uns staunen. Viele Menschen haben eine ziemlich beschränkte Meinung von Mathematik, sie sagen "Mathe konnte ich noch nie, ich konnte noch nie gut rechnen.". Mathematik hat nicht viel mit Rechnen zu tun, oder nur sehr indirekt. Es geht mehr darum Regeln zu erfassen, Strukturen zu erkennen, und Zahlen haben nunmal sehr viel "Struktur", aber andere Sachen eben auch.

Es tut mir ein wenig leid, dass durch die letzten Rätsel die anderen ein wenig abgeschreckt worden sind, obwohl auch klar geworden ist, welch grosses Feld die Mathematik bearbeitet.

[Stefan]

Na schön, dann mal ein Rätsel für Leute, die rechnen können:

 

1

11

21

1211

111221

312211

13112221

1113213211

 

Wie lautet die nächste Zeile?

[maxinquaye]

Hu ha batti ba kina tunga shu dscha ma

..

bearbeitet 24. Dezember 2004 von maxinquaye

[Stefan]

Gib den anderen doch auch eine Chance, Maxi.

[Stefan]

Ein eher theologisches Rätsel:

 

Was ist der Beginn der Ewigkeit, das Ende dieser Stunde, der Anfang und das Ende vom Ende und das Ende aller Tage?

[Rinf]

Ein eher theologisches Rätsel:

 

Was ist der Beginn der Ewigkeit, das Ende dieser Stunde, der Anfang und das Ende vom Ende und das Ende aller Tage?

Das gleiche, was an diesem Absatz so ungewöhnlich ist:

 

Now focus your mind vigorously on this paragraph and on all its words. What's so unusual about it? Don't just zip through it quickly. Go through it slowly. Tax your brain as much as you can.

 

[Einsteinchen]

Na schön, dann mal ein Rätsel für Leute, die rechnen können:

 

1

11

21

1211

111221

312211

13112221

1113213211

 

Wie lautet die nächste Zeile?

31131211131221

[Stefan]

Ein eher theologisches Rätsel:

 

Was ist der Beginn der Ewigkeit, das Ende dieser Stunde, der Anfang und das Ende vom Ende und das Ende aller Tage?

Das gleiche, was an diesem Absatz so ungewöhnlich ist:

 

Now focus your mind vigorously on this paragraph and on all its words. What's so unusual about it? Don't just zip through it quickly. Go through it slowly. Tax your brain as much as you can.

 

Ihr seid furchtbar. Ihr wollt es wirklich auf die harte Tour. Könnt Ihr haben:

 

Dr. Stefan Dunkel hat eine rätsellöserfressende Mikrobe entwickelt, die in jeder Stunde sieben Nachkommen produziert, die genau so gross sind, wie die Muttermikrobe. Nach zwei Stunden existieren also 49 rätsellöserfressende Mikroben, nach drei Stunden 343. Leider starb jede Population von Mikroben nach genau 56,75 Stunden.

 

Dr. Dunkel packte eine frische, neugeborene Mikrobe in einen Glasbehälter, um das Wachstum zu messen. Nach exkakt 50 Stunden war der Behälter voll, nach 56,75 Stunden war der Raum fast voll von Mikroben, aber alle Mikroben waren tot.

 

"So kriege ich die Rätsellöser doch nie kaputt" schimpfte Dr. Dunkel.

Da kam sein Assistent aus seiner Butze und sagte "Vielleicht doch, mein Meissster. Frage sie, wann der Behälter, der nach 50 Stunden voll war, zu 1/7 gefüllt war. Willst Du das tun, mein Schatzzz".

 

"Was soll das bringen?"

 

"Vertraue, mir. Die kriegen das nie heraussssssss."

bearbeitet 24. Dezember 2004 von Stefan

[Rinf]

Frage sie, wann der Behälter, der nach 50 Stunden voll war, zu 1/7 gefüllt war.

Nach 49 Stunden.

[Sokrates]

Blöde Frage: Wie entsteht eine neugeborene Mikrobe, außer durch Teilung? Und was unterscheidet die neugeborene von einer nach 36,5 Stunden?

[Rinf]

Blöde Frage: Wie entsteht eine neugeborene Mikrobe, außer durch Teilung? Und was unterscheidet die neugeborene von einer nach 36,5 Stunden? 

Gar nichts.

Ich vermute, daß nach ca. 56 Stunden der Raum einfach so voll war, daß Dr. Dunkel die Tür nicht mehr aufbekam, und so die Fütterung mit frischen Rätsellösern ausblieb. 0,75 Stunden später starben die armen kleinen Dinger dann des Hungertodes.

Und obwohl sie sich eines gepflegten Genetivs zu befleißigen wußten, waren sie doch nicht intelligent genug, den einzigen Ausweg zu erkennen:

Ein Teil von ihnen hätte anfangen müssen, Rätsel zu lösen um damit den anderen als Nahrung zu dienen.

Aus dem gleichen Grund konnte auch Dr. Dunkel nichts gegen diese fatale Entwicklung tun - z.B. indem er Schiebetüren oder sowas eingebaut hätte, denn damit hätte er selbst ein Rätsel gelöst, und da war ihm bang vor.

 

So war das nämlich, jaja...

[Lissie]

Ich bin mir nicht sicher, ob wir folgendes Rätsel schon hatten, ich habe es gerade in einem Buch mit "philosophischen Rätseln" gefunden:

 

Ein notorischer Lügner, Schwnindler und Betrüger steht vor Gericht. Dem Richter ist er schon lange ein Dorn im Auge und er beschließt, ihn nun besonders hart zu bestrafen. "Ich werde dich den Wert der Ehrlichkeit lehren, Häftling. Du bist für schuldig befundenden worden, ein Gauner und Schwindler zu sein, der das Gericht mehrfach vorsätzlich betrogen hat, um seine erbärmliche Haut zu retten. Nun aber erhältst du deine gerechte Strafe mein Freund. Du wirst dazu verurteilt, am Halse aufgehängt zu werden, bis der Tod eintritt. Bis zu diesem Tag bleibst du eingesperrt. Da ich jedoch ein großmütiger Richter bin, gebe ich dir noch eine Gelegenheit, den Wert der Ehrlichkeit schätzen zu lernen. Wenn es dir gelingt, am Tag deiner Hinrichting, eine wahre Aussage auf einen Zettel zu schreiben, wird die Strafe in zehn Jahre Gefängnis umgewandelt. Sollte deine Aussage jedoch falsch sein, wird das Urteil sofort vollstreckt."

 

Am Tag der Hinrichtung überreicht der Verurteilte dem Richter strahlend seinen Zettel. Dieser liest ihn mit wachsender Bestürzung, knüllt ihn wütend zusammen und bestimmt, daß der Mann sofort ohne jede weitere Strafe entlassen wird.